曲率半径公式推导

        曲率(k):描述曲线下降长度随角度变化，${\rm{k}} = \mathop {\lim }\limits_{\alpha  \to 0} \left| {\frac{

{\Delta \alpha }}{

{\Delta s}}} \right|$

$R = \frac{1}{k} = \frac{

{

{

{\left[ {1 + {

{\left( {\frac{

{dy}}{

{dx}}} \right)}^2}} \right]}^{\frac{3}{2}}}}}{

{\frac{

{

{d^2}y}}{

{d{x^2}}}}} = \frac{

{

{

{\left[ {1 + {

{\left( {f'} \right)}^2}} \right]}^{\frac{3}{2}}}}}{

{f''}}$   （1）

曲率半径计算公式

推导过程

1. 曲线上某点的曲率半径是该点的密切圆的半径，在$\mathop {\lim }\limits_{\Delta {\rm{s}} \to 0} \frac{
   {\Delta \alpha }}{
   {\Delta s}} = \frac{
   {d\alpha }}{
   {ds}}$存在的条件下，${\rm{k}} = \left| {\frac{
   {d\alpha }}{
   {ds}}} \right|$。
2. 设曲线的方程为y=f(x)，且f(x)具有二阶导数。因为tanα = y’(设-$\pi $/2<α<$\pi $/2)，所以

a=arctany’

$\frac{

{

{\rm{d}}\alpha }}{

{dx}} = {\left( {

{\rm{arctany'}}} \right)^\prime }$

\[d\alpha  = {\left( {\arctan y'} \right)^\prime }dx = \frac{

{y''}}{

{1 + {

{y'}^2}}}dx\]

或者

sec²αdα=y''dx，

${\rm{d}}\alpha  = \frac{

{y''}}{

{se{c^2}\alpha }}dx = \frac{

{y''}}{

{1 + ta{n^2}\alpha }}dx = \frac{

{y''}}{

{1 + {y^{'2}}}}dx$

        3. 因为 ${\rm{ds}} = \sqrt {1 + {y^{'2}}} {\rm{dx}}$(密切圆面积求导)，从而得到曲率公式${\rm{k}} = \frac{

{f''}}{

{

{

{\left[ {1 + {

{\left( {f'} \right)}^2}} \right]}^{\frac{3}{2}}}}}$。

 

参考链接：

 

 

【 结束 】